Qui sotto è riportato l’articolo pubblicato sul mensile “La Piazza” nel numero di Febbraio 2018 (Anno XV – Numero 2) sul mistero dei numeri primi – recensione del libro del Prof. Augusto Serrecchia.

Quest’oggi vi presento il libro del Professore Augusto Serrecchia intitolato “Dai numeri primi all’ipotesi di Riemann”, che racconta gli sforzi fatti sinora dalla comunità scientifica per comprendere qual è la logica con cui i numeri primi si distribuiscono nell’insieme dei numeri naturali: il più importante problema irrisolto della matematica.

Numeri primi
Introduciamo prima i numeri naturali, quelli cioè con cui s’impara a contare. Se ad uno qualsiasi di essi si aggiunge 1, si ottiene il numero naturale immediatamente successivo, essi cioè non finiscono mai, sono infiniti, si può infatti sempre avanzare di una unità. Alcuni di questi si definiscono numeri composti, possono cioè essere formati dal prodotto di altri naturali. Invece un numero primo non può essere espresso come prodotto di altri naturali, ossia è divisibile solo per 1 e per sé stesso. Anche i numeri primi sono infiniti, un risultato che ha dimostrato Euclide addirittura 2.300 anni fa. Il teorema fondamentale dell’aritmetica dice che ogni numero naturale (a parte 1) o è un numero primo o può essere espresso in un solo modo come prodotto di numeri primi, come ha dimostrato Carl Friedrich Gauss nel 1801.

Distribuzione dei numeri primi
L’argomento principale del libro è proprio la distribuzione dei numeri primi nell’insieme dei naturali; si succedono in un modo che appare irregolare, ma come ha detto Einstein “Dio non gioca a dadi con l’universo”. I numeri primi sono gli elementi fondamentali della matematica, ed i matematici non sono affatto contenti che questa struttura basilare presenti ancora aspetti misteriosi. Ci deve essere una ratio intellegibile secondo cui i numeri primi si succedono nell’ordine dei naturali. E già da questo si intuisce la suprema bellezza e la severa perfezione della matematica. Ci sono i numeri soli (primi) e quelli accompagnati (composti), e di questa distribuzione non si conosce la logica, eppure questi oggetti entrano ogni istante nelle vite di ognuno di noi, non è infatti possibile fare a meno dei numeri, sono quasi in qualsiasi cosa.

Ipotesi di Riemann
Il primo indizio per decifrare questo mistero è proposto da Gauss, che congettura il teorema della distribuzione dei numeri primi, dimostrata 100 anni dopo da Charles Hadamard: la ricerca di una funzione che fosse legata a tutti i numeri primi nel loro insieme e la cui analisi permettesse poi di individuare la legge che governa la loro distribuzione asintotica approssimata. Nel 1737 fa il suo esordio l’identità di Eulero che contiene tutti i naturali da una parte e tutti i numeri primi dall’altra, ed implicitamente la nozione d’infinito e il concetto di limite, con alcune informazioni sul segreto dei numeri primi.
Siamo infine giunti a Riemann, il quale intuisce che il solo modo di procedere fosse quello di estendere l’identità di Eulero in un contesto geometrico più ampio: il piano dei numeri complessi. Ripropone quindi il problema introducendo una continuazione analitica della formula di Eulero, cioè una sua estensione che la facesse apparire solo come una restrizione di una funzione più ampia ed articolata, definita sul piano di Gauss-Argand. Questa estensione, di cui l’identità di Eulero è solo una parte, viene detta la zeta di Riemann, una funzione complessa di variabile complessa. È come se si fosse sempre ammirato un piccolo pezzetto di un dipinto, e poi un bel giorno si vedesse il quadro completo! Gli zeri complessi della zeta di Riemann costituiscono in un certo senso un insieme duale dell’insieme dei numeri primi.
Il problema è allora risolto? No, non e ̀ cosi! L’Ipotesi di Riemann non è stata dimostrata, se fosse vera avremmo trovato “la musica armonica dei numeri primi”, in caso contrario ci sarebbe solo del “rumore”. Al contrario il mistero si infittisce, con la scoperta di una connessione tra l’Ipotesi di Riemann, la fisica quantistica e la Teoria del Caos.
Insomma, questo è un libro intrigante che ti coinvolge e ti trasporta nella scoperta del più grande problema irrisolto della matematica: l’ipotesi di Riemann. Un mistero incredibile, che attende il genio matematico che lo risolva definitivamente, e chissà se non sia proprio uno di voi!

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